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[교육/학문]

[미적분II]수능 끝난 고3 여러분, 예비 고3 여러분, 기타 수학 잘하는 문네시안 여러분, 도와주세요!

글쓴이 : 포세리앙 날짜 : 2017-01-09 (월) 20:43 조회 : 576
글주소 : http://www.typemoon.net/qna/103831
모바일이라 사진 첨부가 안되서 부득이하게 문제를 글로 씁니다. 그림이 있는 문제지만 설명 만으로도 풀 수 있습니다.

그림과 같이 세로의 길이가 2인 직사각형 모양의 종이를 선분 AB를 접는 선으로 하여 꼭짓점 C가 한 변에 닿도록 접었다.
각 BAC = 세타, 삼각형 ACB의 넓이를 f(세타)라 하면 1/f(세타)은 세타 = 알파 에서 극댓값을 갖는다. 9f(알파)의 값은?

(점 A, B는 직사각형 위의 한 점, 꼭짓점 C는 A와 B 사이에 있는 임의의 꼭짓점 입니다. 예시 그림에서는 왼쪽 아래 꼭짓점 C를 위쪽 변에 닿게 접었습니다.)

정답은 8√3 인데, 답만 있고 해설이 없어 어떻게 푸는 건지 모르겠습니다. 문네시안 분들의 도움을 구합니다!

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레몬맛고양이 2017-01-09 (월) 23:10
A와 C가 위치한 세로변을 2라고 두고 변 AC를 x로, BC를 x*tanθ라 하겠습니다.
그러면 각 BAC가 θ라고 하셨으니 2-x가 밑변인 삼각형의 각은 π-2θ가 되고, x*cos(π-2θ)=2-x입니다.
cos(π-2θ)=-cos2θ이니 x*cos2θ=x-2 이고, x(cos2θ-1)=-2의 식이 됩니다.
cos2θ=1-2(sin^2)(θ)=2(cos^2)(θ)-1 이니까 cos2θ-1을 2(sin^2)θ로 바꾸면 x=1/(sin^2)(θ)입니다.
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레몬맛고양이 2017-01-09 (월) 23:13
삼각형 ABC의 넓이 f(θ)=(x*x*tanθ)/2의 식에 x를 대입해보면 f(θ)=1/(2*cosθ*(sin^3(θ))이니까,
1/f(θ) = g(θ)라고 두면 g(θ)=2(sin^3)(θ)*cosθ 입니다.
g(θ)를 미분해보면 g'(θ)=2(sin^2)(θ)*(3(cos^2)(θ)-(sin^2)(θ))가 되죠.
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레몬맛고양이 2017-01-09 (월) 23:16
극댓값을 찾아야하니 g'(θ)=0이 되려면 3(cos^2)(θ)=(sin^2)(θ)이 성립해야 합니다. (sin^2)(θ)=1-(cos^2)(θ)을 대입해서 풀어보면 극댓값을 위한 α 값은 π/3입니다.

이제 f(θ)에 π/3을 넣어보면 f(π/3)=8/(3√3) 이므로 8/(3√3)에다가 9를 곱하면 8√3이 나오네요.
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레몬맛고양이 2017-01-09 (월) 23:17
KakaoTalk_20170109_230326495.jpg
일단 풀이로 해놨던 걸 찍어서 올려봅니다. 글씨가 별로네요...
 
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포세리앙 2017-01-10 (화) 07:53

어, 풀이 감사합니다. 그런데 그림을 보니 제가 설명을 애매하게 해버렸네요... 죄송합니다.

그림에서 A가 아랫변, B가 왼쪽 변, C가 위쪽 변에 붙어있어서, 세타는 아랫변에 붙어있는 각입니다... 아무래도 세타를 다른 각으로 잡고 푸신 것 같네요. 같은 방법으로 세타를 바꿔서 풀면 될까요?

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레몬맛고양이 2017-01-10 (화) 09:30
풀이 자체는 큰 차이가 없을 거예요. 삼각함수들을 이용해서 길이가 2인 변으로 미지수를 없애서 f함수를 구하고, 그걸 뒤집은 꼴인 1/f를 미분해서 풀면 될 겁니다아
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